Operaciones con funciones

Operaciones con funciones

Conocidas dos funciones f y g, es posible obtener una nueva función realizando operaciones algebraicas sobre las mismas. Así podemos obtener: f+g; f-g; f*g, f/g (g≠0) o g/f  (f≠0).

Definiciones:

Dadas dos funciones f y g:

·         La función suma, denotada f+g, se define: (f+g)_(x) = f(x) + g(x)

·         La función diferencia, denotada f-g, se define: (f-g)_(x) = f(x) - g(x)

·         La función producto, denotada f*g, se define: (f *g)_(x) = f(x) *g(x)

·         La función cociente, denotada f/g, se define: (f/g)_(x) = f(x) /g(x); g(x) ≠0

De manera análoga podemos determinar g/f.

El dominio de la función resultante consiste en todos los valores de x, en el dominio de f y en dominio de g ( se interceptan los dominio), con la condición adicional, en el caso del cociente, donde además de la intercepción, se debe extraen aquellos valores que anulan al denominador de la función resultante.

Plan Operaciones con funciones

PLAN POR COMPETENCIAS

UNIDAD I DE MATEMÁTICA I C.T.

Tema: Operaciones con funciones

SUB-NÚCLEOS TEMÁTICOS

CONCEPTUAL	PROCEDIMENTAL	ACTITUDINAL
Define  operaciones con funciones Explica el procedimiento para hallar el dominio de la función resultante	Realiza operaciones algebráicas para obtener nueva función a partir de dos dadas Aplica procedimiento para encontrar  dominio de la resultante	Cumple condiciones establecidas en el fundamento teórico para realizar operaciones con funciones.
El Docente    promoverá  la intervención de los participantes,  a través de la lluvia de ideas, que permitan definir las operaciones con funciones El Docente presentará exposición audiovisual sobre  fundamento teórico que desarrolla el tema operaciones con funciones. El Docente explicará, en la pizarra,  un ejercicio de cada  operación algebráica  con funciones. El Docente inducirá a la participación de los estudiantes, a través de preguntas dirigidas, con el fin de solicitar describan el procedimiento para  determinación del dominio de la función resultante. Los participantes ejecutarán operaciones algebráicas, a partir de dos funciones dadas, y determinarán el dominio de las mismas, a través de un binomio dialógico. El Docente se  asegurará  que el tema fue comprendido, dirigiendo preguntas  a los participantes.

Funciones trigonométricas

Angulo.

Es la abertura existente entre dos semirrectas que se unen en un punto común llamado vértice.

 Angulo en posición normal.

Se dice que un ángulo está en posición normal cuando el lado inicial se hace coincidir con la parte positiva del eje x, y el vértice,  con el origen del sistema coordenadas cartesianas.

Sentido del ángulo.

Si la rotación del ángulo es en sentido anti horario, se considera positivo el ángulo medido. Si la rotación es  en sentido horario será considerado negativo.

Unidades más comunes para medir un ángulo.

La unidad tradicional para medir un ángulo es el grado.  Un grado sexagesimal es la medida del ángulo, con vértice en el centro de un círculo,  de amplitud igual a 1 de 360 ava parte en la que  se divide al círculo.

Si el lado terminal realiza una rotación completa, en el sentido contrario a las agujas del reloj, el ángulo generado es de 360⁰.

Otra unidad más útil en calculo es el radian. Esta unidad es determinada tomando como referencia un circulo de radio 1, entonces el radian es considerado como la abertura generada cuando el arco del circulo es igual al radio (A0B).

Ecuaciones trigonométricas.

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En estas ecuaciones  la incógnita es el ángulo común de las funciones. No hay un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica, sin embargo un procedimiento efectivo consiste en  transformar la ecuación,  usando principalmente identidades trigonométricas. Para ello se recomienda  pasar a una sola las funciones, preferiblemente a senos o cosenos. Una vez expresada la ecuación en función de una sola función trigonométrica se aplican los pasos usuales en la resolución de ecuaciones algebraicas para encontrar el valor de la función. Obtenido este valor, solo queda conocer el  ángulo que determina esa cantidad.

Graficas de las funciones seno y coseno.

Una función trigonométrica, también llamada función circular, es aquella que se define mediante la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes.

La función Seno.

Se denota y= Senx, no es más que la aplicación de la razón trigonométrica seno a la variable independiente x expresada en radianes.

Características de la función Seno.

·         La función está definida para cualquier valor de x, por tanto el dominio es el conjunto de los números reales.

·         El rango de valores que puede asumir la función comprende el intervalo . Cuando la función alcanza el valor de -1, las coordenadas del punto ( representa el punto más bajo de la onda. Mientras que el punto ( es el punto más alto de la grafica ).

·         La función seno es impar: Sen(-x)= - Senx, por tanto presenta simetría respecto al origen.

·         La función seno es periódica de período 2π. Esto quiere decir que cada vez que la variable x alcanza 2π unidades, los valores de la función se repiten en un patrón regular. Entonces queda entendido que el período es la distancia mínima entre los valores de la variable independiente, antes de que el ciclo vuelva a repetirse. Así que solo es suficiente graficarla en su período. Cuando se dibuja la grafica en este intervalo, se dice que se completado la onda.

·         La función es continua.

La función Coseno.

Se denota y= Cosx, no es más que la aplicación de la razón trigonométrica Coseno a la variable independiente x expresada en radianes.

Características de la función Coseno.

·         La función está definida para cualquier valor de x, por tanto el dominio es el conjunto de los números reales.

·         El rango de valores que puede asumir la función comprende el intervalo .

·         La función Coseno es par: Cos(-x)= Cosx, entonces su grafica Presenta simetría con respecto al eje de las ordenadas (y).

·         La función coseno es periódica de período 2π. Esto quiere decir que cada vez que la grafica se desplaza 2π unidades, los valores de la función se vuelven a repetir.

·         La función es continua.

Graficaremos funciones de la forma  

 y= c + aSenk (x– (b))
 y= c + aCosk (x – (b))

Ejemplo

Y= 4 Cos3x

b.       Y=  aSen (kx -b)     

c =0   b≠0  (sin corrimiento vertical , desplazada  horizontalmente)

Corrimiento de fase es el  cociente b/k   . Si esta cantidad es positiva, el desplazamiento es  a la derecha b/k unidades. Si es negativo, el desplazamiento es b/k  unidades a la izquierda.

Intervalo apropiado a graficar:[ b/k, b/k +(2π/k)] 

Ejemplo:    y= 3 Sen(2x -π /2)

C.      Y= c + aSen (kx -b)     o  Y= c + aCos (kx -b)    

Y= 1- 2Cos(x-π /3)

Donde a, b y c son números reales. Donde a y k≠ 0

C    Representa el desplazamiento vertical en la grafica de la función

El valor absoluto de a representa la amplitud de la onda (distancia que existe desde el origen al punto más alto (cresta de la onda) o al punto más bajo (depresión).

K Representa la frecuencia angular y permite apreciar si la onda se expande o contrae. K≠0

 Indica el desplazamiento horizontal de la onda.

Variantes:

a.       Y=  aSen(kx)    c =0    b= 0  (sin desplazamiento vertical ni horizontal)

Como las funciones seno y coseno tienen período 2π, las funciones Y= aSen(kx) completan un período conforme kx varía de 0 a 2π. Es decir:         

                                      0 ≤ kx ≤ 2π

                                     0 ≤ x ≤  2π/k      Por tanto tienen un período:               P =  2π/k

               Amplitud: A = ІaІ
             Si   0< K< 1, La grafica se expande

Si  k > 1, la grafica se contrae.

Plan Funciones trigonométicas

PLAN POR COMPETENCIAS

UNIDAD I DE MATEMÁTICA I C.T.

Tema: Tipos de funciones

(Funciones trigonométricas)

SUB-NÚCLEOS TEMÁTICOS

CONCEPTUAL	PROCEDIMENTAL	ACTITUDINAL
Define   la  función  seno Define  la función coseno Describe las características de la función seno y coseno	Grafica la función seno, manejando el fundamento teórico Grafica la función coseno, manejando el fundamento teórico	Atiende a las condicione necesarias para graficar funciones trigonométricas (seno y coseno)
El Docente    promoverá  la participación,  a través de la lluvia de ideas para identificar conocimientos previos de trigonometría y construir la definición de función seno y coseno. El Docente presentará exposición audiovisual sobre  fundamento teórico que apoya la representación gráfica de  las  funciones seno y coseno . El Docente  promoverá la participación, a través de preguntas dirigidas, con el fin de indagar si los participantes reconocen las características que describes a la función seno y a la función coseno El Docente explicará un ejercicio correspondiente a cada una de las funciones con y sin traslados (horizontales y/o verticales). Los participantes graficarán las funciones trigonométricas  (seno o coseno) por medio del estudio dirigido El Docente se  asegurará  que el tema fue comprendido, dirigiendo preguntas  a los participantes.

Función valor absoluto

Función Valor Absoluto

Función valor absoluto: { (x,y) / y= І P(x) І}

Donde P(x) representa una función polinómica

Características:

• Dominio: R
• Gráfica: Variable
• La función valor absoluto está regida por la definición de valor absoluto de un número:

                   a)     P(x)  si   P(x) ≥ 0

ІP(x)І =

                    b)  - P(x)  si    P(x)  < 0

•  Una vez aplicada la definición, la función se debe redefinir a trozos, respetando las condiciones propias de la definición.
• Rango: Lo podemos determinar a través de la gráfica 
• La función valor absoluto elemental (sin transformaciones y/o traslaciones) es: f(x)= І x І

             a)     x   ,         si  x ≥ 0

f(x)= 

            b)     -x  ,         si   x < 0

Rango: [0, +oo)

Plan Función valor absoluto

PLAN POR COMPETENCIAS

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Tema: Tipos de funciones

(Función valor absoluto)

SUB-NÚCLEOS TEMÁTICOS

CONCEPTUAL	PROCEDIMENTAL	ACTITUDINAL
Identifica  una función  valor absoluto Describe la forma de redefinir a la función valor absoluto de acuerdo a la definición de la función valor absoluto	Aplica definición de valor absoluto a la función para redefinirla a trozos Representa gráficamente la función valor absoluto Expresa el rango de una función valor absoluto Resume procedimiento para analizar a la función valor absoluto	Cumple con  el procedimiento de análisis  para una función valor absoluto
El Docente recordará los aspectos más relevantes de la función ramificada con el interés de relacionar la forma de analizar una función definida a trozos con la función valor absoluto.   El Docente  promoverá  la participación,  a través de preguntas dirigidas  a los estudiantes, sobre información leída  en el blogs,  referida a la función valor absoluto,   para verificar el reconocimiento  de este tipo de función con respecto a las estudiadas en temas anteriores . El Docente presentará exposición audiovisual sobre la forma de analizar la función valor absoluto. El Docente resolverá  ejercicios en la pizarra donde explicará el procedimiento por medio del cual se  realiza la  representación gráfica de la función, incluyendo determinación del rango mediante la gráfica. Los participantes analizarán funciones  valor absoluto, donde determinarán dominio, rango y gráfica, a través de la técnica de comunicación didáctica  tai Los participantes sintetizarán procedimiento de análisis de  la función valor absoluto, mediante Phillips 66 El Docente se  asegurará  que el tema fue comprendido, dirigiendo preguntas  a los participantes.

Función ramificada

Función ramificada.

Las funciones ramificadas son aquellas definidas a trozos, es decir, como una función general conformada por un grupo de funciones, cada una de las cuales especificada  en su respectivo intervalo de existencia.

El dominio de la función será: Dom(f): D₁ U D₂ U D₃ …    D_n

El rango se  determina analizando la gráfica.

Plan Función ramificada

PLAN POR COMPETENCIAS

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Tema: Tipos de funciones

(Función radical)

SUB-NÚCLEOS TEMÁTICOS

CONCEPTUAL	PROCEDIMENTAL	ACTITUDINAL
Reconoce una función radical Explica la forma de determinar el dominio de una función radical	Aplica definición de dominio de una función radical ya sea de índice par o impar Representa gráficamente una función radical Expresa el rango de una función radical en notación de intervalo	Respeta el procedimiento de análisis  para Una función radical de índice par o impar
El Docente comentará clase anterior e indagará , a través de preguntas dirigidas, la información leída por los estudiantes en el blogs referida a la función radical El Docente realiza exposición audiovisual sobre fundamento teórico de la función radical El Docente presentará  diferentes funciones a los participantes, a través del recuso audiovisual,  con el fin de verificar el reconocimiento de las mismas, aplicando preguntas dirigidas. El Docente presentará  diferentes funciones radicales  a los participantes, a través del recuso audiovisual,  y solicitará se  explique   la forma cómo determinaría  el dominio de las mismas. El Docente resolverá  ejercicios en la pizarra donde explicará el procedimiento por medio del cual se  analiza el dominio, se  representa gráficamente  y  determina el rango de funciones  radicales de índice par e impar. A través de la técnica de comunicación didáctica  tay, los participantes analizarán funciones radicales, donde determinarán dominio, rango y gráfica en funciones radicales El Docente se  asegurará  que el tema fue comprendido, dirigiendo preguntas  a los participantes  que ayudarán a sintetizar  la clase.

Función radical

Función radical.

  

Donde m es un entero positivo.

Características

Ø Si m es impar, el dominio y rango de la función serán todos los números reales.

Ø Si m es par, el dominio de la función será todos los números reales para los  cuales p(x) ≥ 0.

Ø El rango lo podemos determinar analizando la grafica.

Plan Función radical

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Tema: Tipos de funciones

(Función radical)

SUB-NÚCLEOS TEMÁTICOS

CONCEPTUAL	PROCEDIMENTAL	ACTITUDINAL
Reconoce una función radical Explica la forma de determinar el dominio de una función radical	Aplica definición de dominio de una función radical ya sea de índice par o impar Representa gráficamente una función radical Expresa el rango de una función radical en notación de intervalo	Respeta el procedimiento de análisis  para Una función radical de índice par o impar
El Docente comentará clase anterior e indagará , a través de preguntas dirigidas, la información leída por los estudiantes en el blogs referida a la función radical El Docente realiza exposición audiovisual sobre fundamento teórico de la función radical El Docente presentará  diferentes funciones a los participantes, a través del recuso audiovisual,  con el fin de verificar el reconocimiento de las mismas, aplicando preguntas dirigidas. El Docente presentará  diferentes funciones radicales  a los participantes, a través del recuso audiovisual,  y solicitará se  explique   la forma cómo determinaría  el dominio de las mismas. El Docente resolverá  ejercicios en la pizarra donde explicará el procedimiento por medio del cual se  analiza el dominio, se  representa gráficamente  y  determina el rango de funciones  radicales de índice par e impar. A través de la técnica de comunicación didáctica  tay, los participantes analizarán funciones radicales, donde determinarán dominio, rango y gráfica en funciones radicales El Docente se  asegurará  que el tema fue comprendido, dirigiendo preguntas  a los participantes  que ayudarán a sintetizar  la clase.