Función constante y función lineal

Función Constante.

Es del tipo:  {(x,y)/ y= a₀}

Es una función polinómica de grado cero (n=0).

Características:

v  Su grafica es una recta horizontal (paralela al eje x) que estará ubicada a  a₀  unidades por encima del origen, si a₀ es positiva, o por debajo del origen si a₀ es negativa.

v  Su dominio son todos los números reales (R), a no ser que este restringido el dominio, es decir este dado en forma explícita.

v  El rango es a₀, pues es el único valor tomado por y:  Rg(f): { a₀}

Ejemplos:

Determine el dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones.

a.     Y= 3        

b.       F(x)= -2       si        -3 < x ≤ 2

                                           Dom(f)= R                     Dom(f)= (-3,2]

             

                                           Rgo(f)={3}                    Rgo(f)= {-2}

Nota: Observe que el dominio, en el ejercicio b,  fue dado de manera explícita. Debe tener presente cuando los extremos del intervalo dado  están incluidos y cuando no.

Función lineal.

CASO 1.

Es del tipo: {(x,y)/ y= a₁ x+ a₀   }

Es una función polinómica de grado 1.

v  Características: a₀  y a₁  son diferentes de cero.

v  Su grafica es una recta inclinada, es decir que no es paralela a ninguno de los ejes coordenados.  Es usualmente conocida de la forma Y= mx+ b, siendo  m el equivalente a a₁ y b a  a_0.

v  Corta a los ejes coordenados.

v  El ángulo que forma la recta con el eje horizontal (α) se le denomina inclinación de la recta. La tangente del ángulo en la pendiente de la recta.  El concepto de inclinación es sencillo pero resulta complicado su uso en geometría analítica. Por esta razón se utiliza el término de pendiente de la recta con ángulo de inclinación alfa (α). El cual se define:    m =  tan α

Se puede entender que toda recta paralela al eje x tendrá pendiente cero.

v  Si  el valor numérico de la pendiente es positivo, la función es creciente, es decir a medida que aumentan los valores de x, también aumentan los de  y.  Y si es negativa, la  función es decreciente, lo cual significa que a medida que aumentan  los valores de x disminuyen los de y.

v  El dominio de esta función, por ser polinómica, son todos los números reales, a no ser  que el mismo este restringido. Igualmente para el rango.

v  La recta que presenta una forma Y= mx + b, no pasa por el origen del sistema coordenado.

v  Se puede encontrar la ecuación de la función lineal si se conocen las coordenadas de un punto de ella y el valor numérico de la pendiente, mediante el uso de la ecuación punto pendiente:

Ecuación punto pendiente:     y-y₁ = m (x-x₁)                 P₁(x_x, y₁).

Notas importantes de las rectas:

Dos rectas son paralelas si presentan la misma pendiente

m₁= m₂

           Dos rectas son perpendiculares, si el producto de sus pendientes es -1

           m₁m₂= -1

Ejemplo

     Determine el dominio, rango y gráfica de la siguiente función. Además identifique el valor de la pendiente y los cortes con los ejes.

3x -4y = 8

Caso 2.  Función lineal de la forma: {(x,y)/ y= a₁x}

     o equivalente a: {(x,y)/ y= mx};    b=0      m≠0

Características:

v  La recta es inclinada y pasa por el origen, por lo que el único corte con los ejes es en ese punto.

v  Si  m es positiva pasa por  al primer y tercer cuadrante, y si es negativa, pasa por el segundo y cuarto cuadrante.

v  Dominio y rango comprende todos los números reales, a no ser que sea dada de forma explícita.

Caso 3.  Función lineal de la forma: {(x,y)/ y= x};       a₁=1 (m=1)

Características:

v  Función denominada identidad, donde  m= 1 y b=0  de la función y= mx+b.

v  La recta es inclinada,  pasa por el origen. El único corte con los ejes es en ese punto. Divide exactamente al primer y tercer cuadrante.  La recta forma un ángulo de cuarenta y cinco grado con el eje horizontal.

v  Dominio y rango comprende todos los números reales, a no ser que sea dado de forma explícita.