Función cuadrática

Función Cuadrática   

{(x,y)/y= a₂x²+a₁x+a₀} o de la forma {(x,y)/y= ax²+bx+c}

a₂, a₁ y a₀ Є R                                               (a, b y c Є R  )

Características.

Ø  Su grafica es una parábola que abrirá hacia arriba si a₂  >o (coeficiente que acompaña a x2) es positiva o hacia abajo si  es un número real negativo.

Ø  El dominio implícito R . El rango puede determinarse analizando los valores de la función en la grafica o bien utilizando las siguientes notaciones  de intervalos, de acuerdo con el signo del coeficiente a.    

Rango

Si a>0 : [Yv, +00)

Si a <0; (-00, Yv]

Ø  El coeficiente  c representa el corte de la parábola con el eje y.

Ø  Cuando la constante b es cero, el vértice de la parábola y el corte con el eje y está representado por el mismo punto.

Ø  La grafica de la función cuadrática tiene la característica de ser simétrica, por tanto presenta un eje de simetría. Éste,  no es más que una recta vertical que pasa por su vértice y la divide en dos ramas. Una de ellas es imagen especulas de la otra. La ecuación de la recta vertical que representa el eje de simetría es  x= -b/2a

Ø  Las coordenadas del vértice se pueden determinar mediante las siguientes formulas que relacionan a los coeficientes de la expresión cuadrática:

X_v= -b/2a        Yv= 4ac-b²/4ª o bien,  el valor de la abscisa puede sustituirse en la función y obtener así su imagen, es decir determinando a f(x_v).

De gran ayuda al momento de representar la grafica de una función es la determinación y ubicación de los puntos donde la misma corta a los ejes coordenados.

Cuando se busca el punto de corte de la curva con el eje y, se le asigna a x el valor de cero en la ecuación y=ax²+bx+c , así obtenemos al punto (0,c). Para buscar el punto de corte con el eje x, le asignamos a y el valor de cero, obteniendo una ecuación de segundo grado, en términos de x, que determinando sus raíces estaremos encontrando los valores de x que hacen a y cero.

X= -b± (b²-4ac)^1/2/2a

Posibles intercepciones con el eje x.

Estas van a depender del signo que tome b²-4ac (discriminante de la ecuación de segundo grado):

Ø  Si b²-4ac, la grafica de la función tendrá dos puntos de cortes en el eje x.

Ø  Si b²-4ac, la grafica de la función no tendrá  puntos de cortes en  el eje x.

Ø  Si b²-4ac, la grafica de la función tendrá  un solo puntos de cortes en  el eje x, el   cual coincide con el punto vértice de la parábola.

Ejemplos

a.       Dada la función definida por f(x)= x²-4x+ 2. Determine:

Dominio, coordenadas del vértice, cortes con ejes, gráfica y rango.

b.       Dada la función definida por f(x)= -x²+x+6. Determine:

Dominio, coordenadas del vértice, cortes con ejes, gráfica y rango.