miércoles, 4 de julio de 2012

Funciones trigonométricas

Angulo.
Es la abertura existente entre dos semirrectas que se unen en un punto común llamado vértice.
 Angulo en posición normal.
Se dice que un ángulo está en posición normal cuando el lado inicial se hace coincidir con la parte positiva del eje x, y el vértice,  con el origen del sistema coordenadas cartesianas.

Sentido del ángulo.
Si la rotación del ángulo es en sentido anti horario, se considera positivo el ángulo medido. Si la rotación es  en sentido horario será considerado negativo.
Unidades más comunes para medir un ángulo.
La unidad tradicional para medir un ángulo es el grado.  Un grado sexagesimal es la medida del ángulo, con vértice en el centro de un círculo,  de amplitud igual a 1 de 360 ava parte en la que  se divide al círculo.
Si el lado terminal realiza una rotación completa, en el sentido contrario a las agujas del reloj, el ángulo generado es de 3600.
Otra unidad más útil en calculo es el radian. Esta unidad es determinada tomando como referencia un circulo de radio 1, entonces el radian es considerado como la abertura generada cuando el arco del circulo es igual al radio (A0B).
Ecuaciones trigonométricas.
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En estas ecuaciones  la incógnita es el ángulo común de las funciones. No hay un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica, sin embargo un procedimiento efectivo consiste en  transformar la ecuación,  usando principalmente identidades trigonométricas. Para ello se recomienda  pasar a una sola las funciones, preferiblemente a senos o cosenos. Una vez expresada la ecuación en función de una sola función trigonométrica se aplican los pasos usuales en la resolución de ecuaciones algebraicas para encontrar el valor de la función. Obtenido este valor, solo queda conocer el  ángulo que determina esa cantidad.
Graficas de las funciones seno y coseno.
Una función trigonométrica, también llamada función circular, es aquella que se define mediante la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes.
La función Seno.
Se denota y= Senx, no es más que la aplicación de la razón trigonométrica seno a la variable independiente x expresada en radianes.
Características de la función Seno.
·         La función está definida para cualquier valor de x, por tanto el dominio es el conjunto de los números reales.
·         El rango de valores que puede asumir la función comprende el intervalo . Cuando la función alcanza el valor de -1, las coordenadas del punto ( representa el punto más bajo de la onda. Mientras que el punto ( es el punto más alto de la grafica ).
·         La función seno es impar: Sen(-x)= - Senx, por tanto presenta simetría respecto al origen.
·         La función seno es periódica de período 2π. Esto quiere decir que cada vez que la variable x alcanza 2π unidades, los valores de la función se repiten en un patrón regular. Entonces queda entendido que el período es la distancia mínima entre los valores de la variable independiente, antes de que el ciclo vuelva a repetirse. Así que solo es suficiente graficarla en su período. Cuando se dibuja la grafica en este intervalo, se dice que se completado la onda.
·         La función es continua.

La función Coseno.
Se denota y= Cosx, no es más que la aplicación de la razón trigonométrica Coseno a la variable independiente x expresada en radianes.
Características de la función Coseno.
·         La función está definida para cualquier valor de x, por tanto el dominio es el conjunto de los números reales.
·         El rango de valores que puede asumir la función comprende el intervalo .
·         La función Coseno es par: Cos(-x)= Cosx, entonces su grafica Presenta simetría con respecto al eje de las ordenadas (y).
·         La función coseno es periódica de período 2π. Esto quiere decir que cada vez que la grafica se desplaza 2π unidades, los valores de la función se vuelven a repetir.
·         La función es continua.


Graficaremos funciones de la forma  
 y= c + aSenk (x– (b))
 y= c + aCosk (x – (b))
Ejemplo
Y= 4 Cos3x
b.       Y=  aSen (kx -b)     
c =0   b≠0  (sin corrimiento vertical , desplazada  horizontalmente)
Corrimiento de fase es el  cociente b/k   . Si esta cantidad es positiva, el desplazamiento es  a la derecha b/k unidades. Si es negativo, el desplazamiento es b/k  unidades a la izquierda.
Intervalo apropiado a graficar:[ b/k, b/k +(2π/k)] 
Ejemplo:    y= 3 Sen(2x -π /2)


C.      Y= c + aSen (kx -b)     o  Y= c + aCos (kx -b)    
Y= 1- 2Cos(x-π /3)




Donde a, b y c son números reales. Donde a y k≠ 0
C    Representa el desplazamiento vertical en la grafica de la función
El valor absoluto de a representa la amplitud de la onda (distancia que existe desde el origen al punto más alto (cresta de la onda) o al punto más bajo (depresión).
K Representa la frecuencia angular y permite apreciar si la onda se expande o contrae. K≠0
 Indica el desplazamiento horizontal de la onda.

Variantes:
a.       Y=  aSen(kx)    c =0    b= 0  (sin desplazamiento vertical ni horizontal)
Como las funciones seno y coseno tienen período 2π, las funciones Y= aSen(kx) completan un período conforme kx varía de 0 a 2π. Es decir:         
                                      0 ≤ kx ≤ 2π
                                     0 ≤ x ≤  2π/k      Por tanto tienen un período:               P =  2π/k
               Amplitud: A = ІaІ
             Si   0< K< 1, La grafica se expande
Si  k > 1, la grafica se contrae.

No hay comentarios:

Publicar un comentario